Question

16．关于x的方程x³-px+2=0有三个不同实数解，则实数p的取值范围为（3，+∞）．

Answer 1

分析 原方程即为p=x²+$\frac{2}{x}$，设f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，求出导数，判断单调性，可得极小值3，再由图象，即可得到p的范围．

解答 解：x³-px+2=0即为p=x²+$\frac{2}{x}$，
设f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，导数f′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；
当x＜0，或0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，0），（0，1）递减．
可得f（x）在x=1处取得极小值3，
作出y=f（x）的图象，由题意可得当p＞3时，
直线y=p与y=f（x）有3个交点．
即有原方程有三个不同实数解，则p的范围是（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．

点评 本题考查方程的解的个数问题的解法，注意运用分离参数和函数的导数判断单调性和极值，考查数形结合的思想方法，属于中档题．