Question

6．椭圆C₁方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，双曲线C₂的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，C₁，C₂的离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则C₂的渐近线方程为y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$．

Answer 1

分析 求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出a，b关系，即可求解双曲线的渐近线方程．

解答 解：a＞b＞0，椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，C₁的离心率为：$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$，
双曲线C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，C₂的离心率为：$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，
∵C₁与C₂的离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}•\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${（\frac{b}{a}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
C₂的渐近线方程为：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$，
故答案为：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$

点评 本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查，根据椭圆和双曲线离心率之间的关系建立方程是解决本题的关键．