Question

1．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，椭圆E上一点到其右焦点F的最短距离为$\sqrt{2}-1$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）记椭圆E的上顶点为C，是否存在直线l交椭圆E于A，B两点，使点F恰好为△ABC的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，椭圆E上一点到其右焦点F的最短距离为$\sqrt{2}-1$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由C（0，1），F（1，0），得k_CF=-1，从而k_AB=1，设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，由此利用根的判别式和韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，
椭圆E上一点到其右焦点F的最短距离为$\sqrt{2}-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆与A、B两点，且F恰好为△ABC的垂心，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由C（0，1），F（1，0），得k_CF=-1，
∵CF⊥AB，∴k_AB=1，
设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
由题意，有$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{FQ}$=0，
∵$\overrightarrow{NP}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{FQ}$=（x₂-1，y₂），
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
即x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0，
∴$2×\frac{2{m}^{2}-2}{3}-\frac{4}{3}m（m-1）+{m}^{2}-m=0$，
解得m=-$\frac{4}{3}$，或m=1，
经检验，当m=1时，△PQN不存在，故舍去m=1，
当m=-$\frac{4}{3}$时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理、直线方程，椭圆性质的合理运用．