Question

7．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2$\sqrt{3}$，一个焦点的坐标为$（-\sqrt{5}，0）$．
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为2的直线l交双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的实轴长为2$\sqrt{3}$，一个焦点的坐标为$（-\sqrt{5}，0）$，求出a，b的值即可求出双曲线的方程．
（2）利用直线和双曲线相交的弦长公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵实轴长为2$\sqrt{3}$，一个焦点的坐标为$（-\sqrt{5}，0）$，
∴$2a=2\sqrt{3}$，得$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{5}$，
∴b²=c²-a²=2，
∴双曲线C 的方程为$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$．
（2）设直线l 的方程为y=2x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，得10x²+12mx+3（m²+2）=0，
∴△=24（m²-10）＞0，得$|m|＞\sqrt{10}$，
∴弦长$|AB|=\frac{{\sqrt{5}\sqrt{24（{m^2}-10）}}}{10}=4$，解得$m=±\frac{{\sqrt{210}}}{3}$，
∴直线l 的方程为$y=2x+\frac{{\sqrt{210}}}{3}$ 或$y=2x-\frac{{\sqrt{210}}}{3}$．

点评 本题主要考查双曲线的方程以及直线和双曲线的位置关系的应用，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力．