Question

12．双曲线H₁与双曲线H₂：$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=1具有相同的渐近线，且点（2$\sqrt{15}$，$\sqrt{5}$）在H₁上，则H₁的焦点到渐近线的距离为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 利用两个双曲线渐近线相同设出双曲线的方程，利用待定系数法进行求解即可得到结论．

解答 解：∵双曲线H₁与双曲线H₂：$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=1具有相同的渐近线，
∴设双曲线H₁的方程为$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=λ，（λ≠0），
∵点（2$\sqrt{15}$，$\sqrt{5}$）在H₁上，
∴λ=$\frac{60}{20}-\frac{5}{5}$=3-1=2，
即双曲线H₁的方程为$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=2，即$\frac{{x}^{2}}{40}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1，
即a²=40，b²=10，c²=40+10=50，
即a=2$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{10}$，c=5$\sqrt{2}$，
则H₁的一个焦点为（5$\sqrt{2}$，0），渐近线方程y=±$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}$x=±$\frac{1}{2}$x，
不妨设y=$\frac{1}{2}$x，即x-2y=0，
则焦点到渐近线的距离为d=$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{1+4}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=，$\sqrt{10}$
故选：B

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，根据渐近线相同设出双曲线的方程，利用待定系数法进行求解是解决本题的关键．