Question

2．若点O和点F₂（-$\sqrt{2}$，0）分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范围为（1，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据双曲线的焦点坐标，求出a的值，设P（x，y），利用距离公式进行转化求解即可．

解答 解：∵点O和点F₂（-$\sqrt{2}$，0）分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1（a＞0）的中心和左焦点，
∴c=$\sqrt{2}$，则c²=a²+1=2，则a²=1，
即双曲线方程为x²-y²=1，
设P（x，y），则x≥1，
则$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}$=$\frac{{x}^{2}+2\sqrt{2}x+2+{x}^{2}-1}{{x}^{2}+{x}^{2}-1+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2\sqrt{2}x+1}{2{x}^{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²，
则x≥1，∴1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²＞1，
又1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）²，
∵x≥1，∴0＜$\frac{1}{x}$≤1，
即当$\frac{1}{x}$=1时，1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）²取得最大值为$\frac{1}{2}$•（1+$\sqrt{2}$）²=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
故$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范围为（1，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$]，
故答案为：（1，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$]，

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，利用距离公式，转化为一元二次函数形式是解决本题的关键．