Question

7．（1）1名老师和6名学生排成一排，要求老师不能站在两端，那么有多少种不同的排法？
（2）从6名男生、5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同选法？
（3）一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

Answer 1

分析 （1）优先考虑特殊元素“老师”，老师在中间5个位置选一个有5种排法，其余的6名同学在剩下的6个位置经行全排列即可；
（2）正难则反的原则，先求出没有限制的排列，再排除“只选男生或只选女生”的种数，问题得以解决．
（3）转化法，此题相当于“安排5个节目，其中3个节目相对顺序确定，有多少种方法？”问题得以解决．

解答 解：（1）优先考虑特殊元素“老师”，老师在中间5个位置选一个有5种排法，其余的6名同学在剩下的6个位置经行全排列有A₆⁶=720种排法，
故有5×720=3600种．
（2）从反面考虑，“男女至少各1名”的反面是“只选男生或只选女生”．
只选男生有C₆⁴=15种情况，只选女生有C₅⁴=5种情况，所以反面共有15+5=20种，
从6名男生、5名女生中任选4人的所有情况共有C₁₁⁴=330种．故所求为330-20=310种不同选法．
（3）“添进去2个新节目”后，共有5个节目，因此，此题相当于“安排5个节目，其中3个节目相对顺序确定，有多少种方法？”
由于“3个节目相对顺序确定”，可以直接采用归一法．安排5种节目有A₅⁵=120种，三个节目对的全排列为A₃³=6种，
所以，一共有120÷6=20种安排方法．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，关键是对题意的正确理解及分步计数原理的正确应用，属于中档题．