Question

19．记抛物线f（x）=x-x²与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=$\frac{1}{3}$x所围成的平面区域为A，若向区域M内随机抛掷一点P，则点P落在区域A的概率为（　　）

• A． $\frac{8}{27}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{9}$
• D． $\frac{7}{27}$

Answer 1

分析 求出函数与x轴和y=$\frac{1}{3}$x的交点坐标，根据积分的几何意义求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．

解答 解：由f（x）=x-x²=0得x=0或x=1，即B（1，0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-{x}^{2}}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得x-x²=$\frac{1}{3}$x，得$\frac{2}{3}$x=x²，
得x=0或x=$\frac{2}{3}$，即C（$\frac{2}{3}$，0），
由积分的定义得区域A的面积S=∫${\;}_{0}^{1}$（x-x²）dx=（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
区域M的面积S=∫${\;}_{0}^{\frac{2}{3}}$（x-x²-$\frac{1}{3}$x）dx=（$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{\frac{2}{3}}$=[$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$）³]|=$\frac{4}{27}$-$\frac{8}{81}$=$\frac{4}{81}$，
则若向区域M内随机抛掷一点P，则点P落在区域A的概率P=$\frac{\frac{4}{81}}{\frac{1}{6}}$=$\frac{8}{27}$，
故选：A．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分求出对应区域的面积是解决本题的关键．考查学生的转化和计算能力．