Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在双曲线C上的一点，若|AF₁|=2|AF₂|，则cos∠F₁AF₂=（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义结合余弦定理进行转化求解即可．

解答 解：∵|AF₁|=2|AF₂|，
∴点A在双曲线的右支上，
∵|AF₁|-|AF₂|=2|AF₂|-|AF₂|=|AF₂|=2a，
∴|AF₁|=4a，
∵双曲线的离心率为$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{3}$，
则cos∠F₁AF₂=$\frac{A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{F}_{2}}{2A{F}_{1}A{F}_{2}}$=$\frac{16{a}^{2}+4{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×2a•4a}$=$\frac{20{a}^{2}-4{c}^{2}}{16{a}^{2}}$=$\frac{20}{16}$-$\frac{1}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$•e²=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$×3=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线的性质以及余弦定理的应用，根据条件结合双曲线的定义建立方程关系是解决本题的关键．