Question

14．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，DA⊥平面ABP，E是棱AB的中点，F在棱BC上，且AP=BP=$\sqrt{2}$，AB=2，AD=3，BF=2．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面EFP；
（Ⅱ）求三棱锥E-DFP的体积．

Answer 1

分析 （I）由AP=PB得出PE⊥AB，又DA⊥平面ABP，故DA⊥PE，于是PE⊥平面ABCD，从而有PE⊥DF，在矩形ABCD中，利用勾股定理的逆定理可证DF⊥EF，故而得出DF⊥平面EFP；
（II）在Rt△ABP中求出PE，于是V_E-DFP=V_P-DEF=$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•PE$．

解答 证明：（Ⅰ）因为AP=BP，E为AB的中点，所以PE⊥AB．
因为DA⊥平面ABP，PE?平面ABP，所以DA⊥PE，
又因为DA∩AB=A，DA?平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，又DF?平面ABCD，
所以PE⊥DF． 
在Rt△DCF中，$DF=\sqrt{D{C^2}+C{F^2}}=\sqrt{5}$；
在Rt△DAE中，$DE=\sqrt{D{A^2}+A{E^2}}=\sqrt{10}$；
在Rt△BEF中，$EF=\sqrt{B{E^2}+B{F^2}}=\sqrt{5}$．
所以DE²=DF²+EF²，因此DF⊥EF．
又因为PE⊥DF，PE?平面EFP，EF?平面EFP，EF∩PE=E，
所以DF⊥平面EFP． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PE⊥平面ABCD，故PE为三棱锥P-DEF的高，
在△ABP中，$AP=BP=\sqrt{2}，AB=2$，所以AB²=AP²+BP²，得AP⊥BP，
又E是AB的中点，所以$PE=\frac{1}{2}AB=1$． 
由（Ⅰ）得DF⊥EF，故${S_{△DEF}}=\frac{1}{2}×DF×EF=\frac{5}{2}$，
所以${V_{E-DFP}}={V_{P-DEF}}=\frac{1}{3}×\frac{5}{2}×1=\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．