Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，求双曲线的渐近线方程．

Answer 1

分析 根据双曲线和抛物线 的线段的长度以及|FA|=c建立方程关系，求出a=b，进行求解即可．

解答 解：由已知|OA|=a，|AF|=c，
所以，$|OF|=b=\frac{p}{2}$
把y=-$\frac{p}{2}$=b代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1得，x²=2a²，
所以，直线y=-$\frac{p}{2}$被双曲线截得的线段长为2$\sqrt{2}a$，
从而2$\sqrt{2}$a=2c，c=$\sqrt{2}$a，
所以，a²+b²=2a²，
则a=b
所求渐近线方程为y=±x．
考点：双曲线渐近线

点评 本题主要考查双曲线的渐近线的求解，解集双曲线有关综合问题的方法（1）解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．（2）解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．