Question

已知f（x）的定义域为R，则p：?x∈R，（f（x）+f（-x））•（f（x）-f（-x））=0是q：f（x）为奇函数或偶函数的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据函数奇偶性的定义，分别判断p⇒q和q⇒p的真假，进而结合充要条件的定义，可得答案．

解答： 解：当p：?x∈R，（f（x）+f（-x））•（f（x）-f（-x））=0成立时，
f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0至少有一个成立，
但f（x）+f（-x）=0和f（x）-f（-x）=0不一定恒成立，
此时q：f（x）为奇函数或偶函数不一定成立，
故p：?x∈R，（f（x）+f（-x））•（f（x）-f（-x））=0是q：f（x）为奇函数或偶函数的不充分条件；
若q：f（x）为奇函数或偶函数成立，
则f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0成立，
故p：?x∈R，（f（x）+f（-x））•（f（x）-f（-x））=0成立，
故p：?x∈R，（f（x）+f（-x））•（f（x）-f（-x））=0是q：f（x）为奇函数或偶函数的必要条件；
综上所述：p：?x∈R，（f（x）+f（-x））•（f（x）-f（-x））=0是q：f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件；
故选：B

点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意避免不必要错误的发生．