Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

，(a＞0且a≠1)．
（1）求函数f（x）的定义域和值域．
（2）判断f（x）与f（-x）的关系．
（3）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据a^x＞0，可得函数的定义域为R，再根据 a^x=

1+y

1-y

＞0，求得y的范围，可得函数的值域．
（2）化简f（-x） 的解析式，可得它与-f（x）的关系．
（3）根据 f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，再分当a＞1时 和当0＜a＜1时 两种情况，分别根据函数

2

ax+1

的单调性，求得f（x）的单调性．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

ax-1

ax+1

，(a＞0且a≠1)，a^x＞0，∴函数的定义域为R，
再根据 a^x=

1+y

1-y

＞0，求得-1＜y＜1，故函数的值域为（-1，1）．
（2）f（-x）=f(x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x）．
（3）∵f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
当a＞1时，由于函数

2

ax+1

是减函数，故f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，由于函数

2

ax+1

是增函数，故f（x）为减函数．

点评：本题主要考查求函数的定义域和值域，函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．