Question

已知函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
（1）求它的定义域，值域；
（2）判定它的奇偶性和周期性；
（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数性质即可求它的定义域，值域；
（2）根据函数的奇偶性的定义判断它的奇偶性和周期性；
（3）根据函数的单调性的定义即可求函数的单调区间及每一区间上的单调性．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则

2

sin(x-

π

4

)＞0，解得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，
即函数的定义域为(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，
∵0＜

2

sin?(x-

π

4

)≤1，
∴函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)≥0，
即函数的值域为[0，+∞）．
（2）∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数为非奇非偶函数函数．
∵函数y=

2

sin?(x-

π

4

)的周期是π，
∴函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)周期是π．
（3）∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的单调递增区间为(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，
∴根据复合函数的单调性可知此时函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)单调递减．
∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的单调递减区间为[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，
∴根据复合函数的单调性可知此时函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)单调递增．
故函数的单调递增区间为为[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，递减区间为为(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]．

点评：本题主要考查对数函数的定义域和值域求法，以及三角函数的图象和性质，以及复合函数的单调性之间的关系，综合性较强，难度较大．