Question

（文）已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，a₂=m，且对任意n∈N^*，都有

a

2 n+1

=anan+2+c．数列{a_n}前n项的和S_n
（1）若数列{a_n}是等比数列，求c的值和

lim

n→∞

an

Sn

；
（2）若数列{a_n}是等差数列，求m与c的关系式；
（3）c=1，当n≥2，n∈N^*时，求证：

an+1+an-1

a n

是一个常数．

Answer 1

考点：数列的极限,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）确定数列的通项，利用

a

2 n+1

=anan+2+c，可以求c的值，分类讨论求和，即可求

lim

n→∞

an

Sn

；
（2）求出数列的公差，利用

a

2 n+1

=anan+2+c，建立关系式，可求m与c的关系式；
（3）利用分析法进行证明．

解答： （1）解：由题意得：q=

a2

a1

=m，∴an=mn-11分
∴m²ⁿ=m^n-1mⁿ⁺¹+c，∴c=0，2分
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴m＞0
当m=1时，∴S_n=n，a_n=1，

lim

n→∞

an

Sn

=0；4分
当m＞0且m≠1时，∴Sn=

1-mn

1-m

，5分
∴

an

Sn

=(1-m)

mn-1

1-mn

6分
当0＜m＜1时

lim

n→∞

an

Sn

=0；
当m＞1时

an

Sn

=

1-m

( 1 m )n-1-m

，
∴

lim

n→∞

an

Sn

=

m-1

m

，
∴

lim

n→∞

an

Sn

=

0，0＜m≤1 m-1 m ，m＞1

；7分
（2）解：由题意得：d=a₂-a₁=m-1，8分
∴a_n=1+（n-1）（m-1），a_n+1=1+n（m-1），a_n+2=1+（n+1）（m-1），9分
∵

a

2 n+1

=anan+2+c，
∴[1+n（m-1）]²=[1+（n-1）（m-1）][1+（n+1）（m-1）]+c，10分
∴c=（m-1）²，12分；
（3）证明：计算a3=m2-1，猜想

an-1+an+1

an

=m，14分
欲证明

an-1+an+1

an

=m恒成立
只需要证明

an-1+an+1

an

=

an+an+2

an+1

恒成立
即要证明a_n+1（a_n-1+a_n+1）=a_n（a_n+a_n+2）恒成立
即要证明an+1an-1+an+12=an2+anan+2恒成立 （***）
∵

a

2 n+1

=anan+2+1，∴an+1an-1=an2-1，anan+2=an+12-1
（***）左边=an+1an-1+an+12=an2-1+an+12
（***）右边=an2+an+12-1
∴（***）成立   18分

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列的极限，考查分析法的运用，综合性强．