Question

20．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）若当 x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）f（1-a）+f（1-3a）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=0．令y=-x，可得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}-{x}_{2}）}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，所以f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）利用单调性、奇偶性转化为具体不等式即可得出结论．

解答 （1）证明：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f（$\frac{x-x}{1-{x}^{2}}$）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x）．
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵对任意x，y属于（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．
函数f（x）是奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}-{x}_{2}）}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴-1＜x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）解：f（1-a）+f（1-3a）＜0，即f（1-a）＜f（3a-1），
∵f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴-1＜3a-1＜1-a＜1，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断与应用，考查函数单调性的证明，赋值法是解题的关键．