Question

20．在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）试判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是否为等差数列．
（2）求数列{$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N）．可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3，即可得出．
（2）由（I）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，可得$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$=6n²+11n-10，利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，及其等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N）．
∴a_n≠0．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，首项为1，公差为3．
（2）由（I）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$=（3n-2）（2n+5）=6n²+11n-10，
∵1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
∴数列{$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$}的前n项和=6×$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+11×$\frac{n（n+1）}{2}$-10n
=$\frac{n（n+1）（4n+13）}{2}$-10n．
=$\frac{4{n}^{3}+17{n}^{2}-7n}{2}$．

点评 本题考查了结论1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$及其等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．