Question

7．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），其图象与y=-1的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的内角，若f（A）=0，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数的倍角公式，结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的性质求出ω的值，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据条件先求出A的值，结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（2cos²ωx+1）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-1=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，
由sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1=-1得sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=0，
∵其图象与y=-1的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，
则ω=1，即f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1；
（Ⅱ）若f（A）=0，则sin（2A-$\frac{π}{6}$）-1=0，
得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1；
则2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即A=kπ+$\frac{π}{3}$，
∵A为△ABC的内角，
∴当k=0时，A=$\frac{π}{3}$．则0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
则f（B）=sin（2B-$\frac{π}{6}$）-1；
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴0＜2B＜$\frac{4π}{3}$，
则-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
则sin（-$\frac{π}{6}$）＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤sin$\frac{π}{2}$，
即$-\frac{1}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤1，
则-$\frac{3}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）-1≤0，
即f（B）的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，0]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．