Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ

又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则Q（0，0，0），A（1，0，0）， ， ，C（﹣1， ，0）

∵M是PC中点，∴ ，

∴

设异面直线AP与BM所成角为θ

则cosθ= = ，

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为 ；

（3）解：由（2）知平面BQC的法向量为 ，

由 ，且0≤λ≤1，得 ，

又 ，∴平面MBQ法向量为 ．

∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴ ，

∴ ．∴|QM|=

【解析】（1）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（2）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量 和 的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（3）可得平面BQC的法向量为 ，又可求得平面MBQ法向量为 ，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．