Question

【题目】我们称满足下面条件的函数y=f（x）为“ξ函数”：存在一条与函数y=f（x）的图象有两个不同交点（设为P（x1 ， y1）Q（x2 ， y2））的直线，y=（x）在x= 处的切线与此直线平行．下列函数：
①y= ②y=x2（x＞0）③y= ④y=lnx，
其中为“ξ函数”的是（将所有你认为正确的序号填在横线上）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：（1）设一条直线l与函数y= 的图象有两个不同交点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）（x1≠x2）的直线，可得kl= =﹣ ．由于y′=﹣ ，可得y=f（x）在x= 处切线的斜率k=f′（ ）=﹣ ，可得﹣ ≠﹣ ，因此函数y= 不是ξ函数”；（2）设一条直线l与函数y=x2（x＞0）的图象有两个不同交点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）的直线，则kl= =2x=x2+x1 ，
∵y′=2x，
∴y=f（x）在x= 处的切线的斜率k=f′（ ）=2× =x1+x2 ，
∴存在一条直线l与函数y=f（x）的图象有两个不同交点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）的直线，使y=f（x）在x= 处的切线与此直线平行，
因此函数y=x2为ξ函数；
同理可判定：（3）为“ξ函数；（4）不为ξ函数．
所以答案是：②③．
【考点精析】利用函数的值域和函数的值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．