Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数在的单调性.（不需要证明）；

（2）探究是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，解不等式.

Answer 1

【答案】（1）增函数；（2）存在实数满足条件，且当时，是奇函数；（3）。

【解析】

（1）根据函数解析式，利用作差法明确函数的单调性；

（2）根据奇函数的定义，我们令f（x）+f（﹣x）=0，由此构造关于a的方程，解方程可得a的值；

（3）根据（2）中条件可得函数的解析式，根据指数函数的性质及二次函数的性质及恒成立的实际意义，可得实数t的取值范围．

（1）任取x1，x2∈R且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，

∵y=3x在R上是增函数，且x1＜x2，

﹣＜0，+1＞0，+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在R上是增函数．

（2）f（x）=a﹣是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），

即a﹣=﹣（a﹣），

2a=+=+=1，

故a=，

∴当a=时，f（x）是奇函数．

（3）在（2）的条件下，f（x）是奇函数，

则由f（t2+1）+f（2t﹣4）≤0，

可得：f（t2+1）≤﹣f（2t﹣4）=f（4﹣2t），

又f（x）在R上是增函数，则得t2+1≤4﹣2t，﹣3≤t≤1，

故原不等式的解集为：{t|﹣3≤t≤1}．