Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围；

Answer 1

分析：（I）先求导数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，连续函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值；
（II）根据不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，可转化成，对任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，将（1+a）x＜e^x变形为a＜

ex

x

-1，令g(x)=

ex

x

-1，利用导数研究g（x）的最小值，使a小于最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的导数f′（x）=e^x-1
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，
解得x＜0．（2分）
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1．（5分）
（II）因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，
所以，对任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，（6分）
由f（x）＞ax，得（1+a）x＜e^x
当x=0时，上述不等式显然成立，
故只需考虑x∈（0，2]的情况．（7分）
将（1+a）x＜e^x变形为a＜

ex

x

-1（8分）
令g(x)=

ex

x

-1，则g′(x)=

(x-1)ex

x2

令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．（10分）
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，从而，
所求实数a的取值范围是（-∞，e-1）．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及恒成立问题，一般恒成立求参数问题常常将参数进行分离，转化成研究已知函数在某个区间上的最值问题，考查了划归与转化的思想，属于中档题．