【题目】已知函数(为实数, 为自然对数的底数),曲线在处的切线与直线平行.
(1)求实数的值,并判断函数在区间内的零点个数;
(2)证明:当时, .
【答案】(1),没有零点;(2)见解析.
【解析】【试题分析】(1)先借助导数的几何意义建立方程求出的值,再运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解;(2)借助题设先将不等式进行等价转化,再运用导数知识进行分析推证:
(1),由题设,可知曲线在处的切线的斜率,解得,
∴,
∴当时, ,
∴在区间内为增函数,
又,∴在区间内没有零点.
(2)当时, 等价于,记,
则,当时, ,
∴当时, 在区间内单调递增,
∴,即,两边取自然对数,得(),
∴要证明(),只需证明(),
即证当时, ,①
设,则,令,
则,当时, ;当时, .
∴在区间内单调递减,在区间内单调递增,又, , ,∴,∴存在,使得,
∴当时, ;
当时, ,∴在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增,
又,∴,当且仅当时,取等号,即①式成立,
∴.
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【题目】关于下列命题
①函数y=tanx在第一象限是增函数;
②函数y=cos2( ﹣x)是偶函数;
③函数y=4sin(2x﹣ )的一个对称中心是( ,0);
④函数y=sin(x+ )在闭区间[﹣ , ]上是增函数;
写出所有正确的命题的题号: .
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【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E为BB1中点.
(1)证明:AC⊥D1E;
(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值.
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【题目】某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆,目前我国主流纯电动汽车按续航里程数.(单位:公里)分为3类,即类:,类:, 类:,该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表:
类型 | 类 | 类 | 类 |
已行驶总里程不超过10万公里的车辆数 | 10 | 40 | 30 |
已行驶总里程超过10万公里的车辆数 | 20 | 20 | 20 |
(1)从这140辆汽车中任取一辆,求该车行驶总里程超过10万公里的概率;
(2)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取了14辆车进行车况分析,按表中描述的六种情况进行分层抽样,设从类车中抽取了辆车.
①求的值;
②如果从这辆车中随机选取两辆车,求恰有一辆车行驶总里程超过10万公里的概率.
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【题目】在等比数列{an}中,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1=3,b4=a2 , b13=a3 .
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记cn=(﹣1)nbn+an , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】某中学为了解高中入学新生的身高情况,从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据,分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表:
(Ⅰ)在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图;
(Ⅱ)估计这50名学生身高的方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅲ)现从身高在这6名学生中随机抽取3名,求至少抽到1名女生的概率.
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