Question

（文）若数列{a_n}的前n项和为S_n，有下列命题：
（1）若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}也是递增数列；
（2）无穷数列{a_n}是递增数列，则至少存在一项a_k使得a_k＞0；
（3）若{a_n}是等差数列（公差d≠0），则S₁•S₂•…•S_k=O的充要条件是a₁•a₂•…•a_k=O；
（4）若{a_n}是等比数列，则S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）的充要条件是a_n+a_n+1=0．
其中，正确命题的个数（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，通过举反例可得（1）（2）（3）不正确．经过检验，只有（4）正确，从而得出结论．

解答：解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}不一定是递增数列，如a_n=n-60，当a_n＜0 时，数列{S_n}是递减数列，故（1）不正确．
（2）无穷数列{a_n}是递增数列，则不一定存在一项a_k使得a_k＞0，不正确；
（3）若{a_n}是等差数列（公差d≠0），则由S₁•S₂…S_k=0不能推出a₁•a₂…a_k=0，例如数列：-3，-1，1，3，满足S₄=0，但 a₁•a₂•a₃•a₄≠0，故（3）不正确．
（4）一方面：若{a_n}是等比数列，则由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），从而当k=2时，有S₁•S₂=0⇒S₂=0⇒a₁+a₂=0，∴a₂=-a₁，
从而数列的{a_n}公比为-1，故有a_k+a_k+1=a_k-a_k=0．
另一方面，由a_k+a_k+1=0可得a_k=-a_k+1，∴a₂=-a₁，可得S₂=0，
∴S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故（4）正确．
故选B．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．