【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠BAC=60°,AC=4,AP=3,AB=2.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求点C到平面PAB距离.
【答案】(1)3; (2).
【解析】
(1)过P作PH⊥AC交AC于一点H,可证PH⊥平面ABC,计算PH和△ABC的面积,代入体积公式计算棱锥的体积;
(2)依次计算AH,BH,PB,利用余弦定理计算∠PAB,得出△PAB的面积,根据VP-ABC=VC-PAB列方程计算C到平面PAB的距离.
(1)过P作PH⊥AC交AC于一点H,
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PH平面PAC,
∴PH⊥平面ABC.
在△PAC中,∠PAC=60°,PA=3,则PH=PAsin∠PAC=,AH=PAcos∠PAC=.
∵△ABC的面积S△ABC===2.
∴四面体P-ABC体积VP-ABC===3.
(2)连接BH.
在△ABH中,由余弦定理可得:BH2=AH2+AB2-2AHABcos∠BAC=+4-2×=,
∴PB2=PH2+BH2=+=10,∴PB=.
在△PAB中,由余弦定理得:cos∠PAB===,∴sin∠PAB=.
∴△PAB的面积S△PAB===.
设C点到平面PAB距离为h,则VC-PAB=S△PABh=3,
即=3.解得h=.
∴C点到平面PAB距离为.
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【题目】为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
y | 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
已知甲厂生产的产品共有98件.
(1)求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).
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【题目】已知正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,下列不正确的是( )
A.平面分正方体所得两部分的体积相等;
B.四边形一定是平行四边形;
C.平面与平面不可能垂直;
D.四边形的面积有最大值.
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【题目】已知椭圆W:(a>b>0)的离心率,其右顶点A(2,0),直线l过点B(1,0)且与椭圆交于C,D两点.
(Ⅰ)求椭圆W的标准方程;
(Ⅱ)判断点A与以CD为直径的圆的位置关系,并说明理由.
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【题目】改革开放以来,中国经济飞速发展,科学技术突飞猛进。高铁、核电、桥梁、激光、通信、人工智能、航空航天、移动支付、量子通讯、特高压输电等许多技术都领先于世界。厉害了,我的国!把“厉害了我的国”这六个字随机地排成一排,其中“厉”、“害”这两个字必须相邻(可以交换顺序),“了”、“的”这两个助词不能相邻,则不同排法的种数为( )。
A. B. C. D.
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【题目】某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/小时.
(1)求B点到D点的距离BD;
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达D点需要的时间.
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