Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.

(1)求证：CE⊥平面PAD；

(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积．

 

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明　因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，

所以PA⊥CE.

因为AB⊥AD，CE∥AB，

所以CE⊥AD.

又PA∩AD＝A，

所以CE⊥平面PAD.

(2)解　由(1)可知CE⊥AD.

在Rt△ECD中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1.

又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，

所以四边形ABCE为矩形．

所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋CE·DE＝1×2＋×1×1＝，

又PA⊥平面ABCD，PA＝1，

所以V四棱锥P-ABCD＝S四边形ABCD·PA＝××1＝.