Question

10．如图，已知直线PA与⊙O切于点A，直线PB过圆心O，且与⊙O交于点B、C（PB＜PC），若PA=3，PB=1．
（1）求sin∠PAB的大小；
（2）若∠BAC的平分线与BC交于点D，与⊙O的另一个交点为E，求AD•DE．

Answer 1

分析 （1）利用△PAB∽△PCA，可得$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}$，结合PA=3，PB=1，可得$\frac{AB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，即可求sin∠PAB的大小；
（2）利用角平分线的性质，可得$\frac{AB}{CA}$=$\frac{DB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，求出BC，可得DB，CD，利用相交弦定理，即可求AD•DE．

解答 解：（1）∵直线PA与⊙O切于点A，直线PB过圆心O，且与⊙O交于点B、C（PB＜PC），
∴∠PAB=∠ACB
∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}$，
∵PA=3，PB=1，
∴$\frac{AB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）由角平分线的性质，可得$\frac{AB}{CA}$=$\frac{DB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∵PA²=PB•PC，∴PC=9，
∴BC=8，
∴DB=2，CD=6，
∴AD•DE=DB•CD=12．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查角平分线的性质、相交弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．