Question

（本小题满分13分）已知函数（为常数，）

（1）若是函数的一个极值点，求的值；

（2）求证：当时，在上是增函数；

（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

（1）2；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用函数在处的导数为0即可求出的值；（2）利用函数的单调性与导数的关系跑到导函数在区间上恒大于0即可（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析： 1分

（1）由已知，得且， 2分

3分

（2）当时，

4分

当时，又 5分

故在上是增函数

（3）时，由（2）知，在上的最大值为

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立. 7分

记

则. 8分

因为 9分

若，可知在区间上递减，在此区间上，有

，与恒成立相矛盾，故，这时， 12分

在上递增，恒有，满足题设要求，

即实数的取值范围为 14分

考点：函数的性质与导数的应用.