Question

（本小题满分13分）如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当的长为何值时，
二面角的大小为？

Answer 1

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)

法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DNC.
同理MA//平面DNC，又MAMB="M," 且MA,MB平面MAB.
.  (6分)
（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，
平面AMND平面MNCB，DNMN,
DN平面MBCN，从而,
为二面角D-BC-N的平面角.                                      (9分)
由MB=4，BC=2，知，
.                           (10分)
由条件知：                 （13分）
解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，
设，则.
（I）.
，
∵，
∴与平面共面，又，.     (6分)
（II）设平面DBC的法向量，
则，令，则， 
∴. （8分）又平面NBC的法向量.  （9分）

即：   又即    （13分）