Question

（本题满分16分）已知椭圆的离心率为.
⑴若圆（x-2）²+(y-1)²=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆W方程；
⑵设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60⁰．求的值.
⑶在（1）的条件下，椭圆W的左右焦点分别为F₁、 F₂，点R在直线l：x－y＋8＝0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求的值.

Answer 1

解：（1）设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,AB的方程为y-1="k(x-2)" 即y=kx+1-2k①
　∵离心率e=
∴椭圆方程可化为②
将①代入②得（1+2k²）x²+4(1-2k)·kx
+2(1-2k)²-2b²=0
∵x₁+x₂=   ∴k=-1
∴x₁x₂= 
又 
∴即 
∴b²="8    "
∴椭圆方程为
(2)设,则由第二定义知即 或
∴ 或.
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切.
直线l与x轴于S(-8,0),∽(可证)

解析