Question

 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足

(Ⅰ)证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

 

 

Answer 1

【答案】

 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。

思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.

【精讲精析】 (I)设

直线，与联立得

由得

,

所以点P在C上。

（II）法一：

同理

 

所以互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为…①

设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为…②

由①②得、的交点为

,

,,

故.

所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.