Question

20．设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；
（Ⅱ）求函数f（x）=x²-（1+a）x+a在D内的零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对于方程2x²-3（1+a）x+6a=0，判别式△=3（a-3）（3a-1）因为a＜1，所以a-3＜0，分类讨论求出B，即可求集合D（用区间表示）；
（Ⅱ）f（x）=（x-1）（x-a），a＜1，分类讨论求函数f（x）=x²-（1+a）x+a在D内的零点．

解答 解：（Ⅰ）对于方程2x²-3（1+a）x+6a=0
判别式△=3（a-3）（3a-1）
因为a＜1，所以a-3＜0
①当1$＞a＞\frac{1}{3}$时，△＜0，此时B=R，所以D=A；
②当a=$\frac{1}{3}$时，△=0，此时B={x|x≠1}，所以D=（0，1）∪（1，+∞）；
当a＜$\frac{1}{3}$时，△＞0，设方程2x²-3（1+a）x+6a=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则
③当0$＜a＜\frac{1}{3}$时，x₁+x₂=$\frac{3}{2}$（1+a）＞0，x₁x₂=3a＞0，所以x₁＞0，x₂＞0
此时，D=（0，x₁）∪（x₂，+∞）；
④当a≤0时，x₁x₂=3a≤0，所以x₁≤0，x₂＞0．
此时，D=（x₂，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=（x-1）（x-a），a＜1，
①当1$＞a＞\frac{1}{3}$时，函数f（x）的零点为1与a；
②当a=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）的零点为$\frac{1}{3}$；
③当0$＜a＜\frac{1}{3}$时，因为2×1²-3（1+a）+6a＜0，2×a²-3（1+a）a+6a＞0，所以函数f（x）零点为a；
④a≤0，因为2×1²-3（1+a）+6a＜0，2×a²-3（1+a）a+6a＜0，所以函数f（x）无零点．

点评 本题考查集合的运算，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．