Question

10．已知函数f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）（0＜a＜1）．
（Ⅰ）判断f（x的奇偶性；
（Ⅱ）用定义证明f（x）为R上的增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇偶性的定义即可判断函数f（x）为定义域上的奇函数；
（Ⅱ）利用单调性的定义即可证明f（x）为定义域上的增函数．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=（a-1）（a^x-a^-x），
对任意x∈R，都有f（-x）=（a-1）（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）为定义域R上的奇函数；
证明：（Ⅱ）设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{-x}_{1}}$）-（a-1）（${a}^{{x}_{2}}$-${a}^{{-x}_{2}}$）
=（a-1）[（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）-（${a}^{{-x}_{1}}$-${a}^{{-x}_{2}}$）]
=（a-1）[（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）-$\frac{{a}^{{x}_{2}}{-a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}{•a}^{{x}_{2}}}$]
=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$），
由于0＜a＜1，${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$＞0，
于是f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）为R上的增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义与应用问题，是基础题目．