Question

15．已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C₁：2x²+3y²=72的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（${\sqrt{3}$，-2）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知P是椭圆C上的任意一点，Q（0，t），求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知曲线的焦点在x轴可知所求椭圆的焦点在y轴上，再由椭圆过点C，由椭圆定义可求出2a，即可求其方程；（2）建立|PQ|与变量y的关系问题即可转化为二次函数的问题，讨论二次函数的单调性可得．

解答 解：（1）由已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{24}=1$，
相应的焦点分别为$（{-2\sqrt{3}，0}）（{2\sqrt{3}，0}）$，
则椭圆C的焦点分别为${F_1}（{0，-2\sqrt{3}}）{F_2}（{0，2\sqrt{3}}）$，
设椭圆C的方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
∵$2a=|{A{F_1}}|+|{A{F_2}}|=\sqrt{{{（{\sqrt{3}-0}）}^2}+{{（{-2+2\sqrt{3}}）}^2}}+\sqrt{{{（{\sqrt{3}-0}）}^2}+{{（{-2-2\sqrt{3}}）}^2}}=4-\sqrt{3}+4+\sqrt{3}=8$，
∴a=4，∴b²=16-12=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$；
（2）设P（x，y），则$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$（-4≤y≤4），∴${x}^{2}=4-\frac{1}{4}{y}^{2}$，
$|PQ{|}^{2}={x}^{2}+（y-t）^{2}=\frac{3}{4}{y}^{2}-2ty+{t}^{2}+4$，
令$f（y）=\frac{3}{4}{y}^{2}-2ty+{t}^{2}+4，（-4≤y≤4）$，
∵$f（y）=\frac{3}{4}（y-\frac{4}{3}t）^{2}+4-\frac{1}{3}{t}^{2}$
∴当t≤-3时，函数f（y）在[-4，4]上为增函数，∴f（y）≥f（-4）=t²+8t+16；
当-3＜t＜3时，$f（y）≥f（{\frac{4}{3}t}）=4-\frac{1}{3}{t^2}$；
当t≥3时，函数在[-4，4]上为减函数，∴f（y）≥f（4）=t²-8t+16．
综上所述：t≤-3时，|PQ|_min=|t+4|；-3＜t＜3时，${|{PQ}|_{min}}=\sqrt{4-\frac{1}{3}{t^2}}$；t≥3时，|PQ|_min=|t-4|．

点评 本题考查椭圆的定义及简单的综合问题．第一问易解；第二问解题关键首先能正确建立|PQ|与y的函数关系，转化为二次函数问题，然后通过讨论求解．考查了转化和分类讨论的思想方法．属于中等难度题．