Question

7．若关于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}+x+1}$＞0的解集为R，则k的范围为[1，9）．

Answer 1

分析 关于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}+x+1}$＞0的解集为R，x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，转化为（k-1）x²+（k-1）x+2＞0的解集为R．对k分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．

解答 解：∵关于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}+x+1}$＞0的解集为R，x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，
∴（k-1）x²+（k-1）x+2＞0的解集为R．
当k=1时，2＞0恒成立，因此k=1满足条件．
当k≠0时，可得$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△=（k-1）^{2}-8（k-1）＜0}\end{array}\right.$，解得1＜k＜9，
综上可得：k的范围为[1，9）．
故答案为：[1，9）．

点评 本题考查了恒成立问题等价转化方法、“三个二次的关系”、不等式的解集与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．