Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x）．设f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，若f（α-$\frac{π}{3}$）=2，α∈[$\frac{π}{2}$，π]，则sin（2α-$\frac{π}{6}$）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 进行数量积的运算，并化简即可得出f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，这样根据$f（α-\frac{π}{3}）=2$即可得出cos2α=$-\frac{1}{2}$，而由α的范围便可得出2α的范围，从而求出α，这样便可求出$sin（2α-\frac{π}{6}）$的范围．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$
=$1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
∴$f（α-\frac{π}{3}）=2sin（2α-\frac{π}{2}）+1$=-2cos2α+1=2；
∴$cos2α=-\frac{1}{2}$；
∵$α∈[\frac{π}{2}，π]$；
∴2α∈[π，2π]；
∴$2α=π+\frac{π}{3}$；
∴$sin（2α-\frac{π}{6}）=sin（π+\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，以及两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式．