Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．证明：数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析 由递推关系可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1．变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．利用等比数列的递推及其通项公式即可证明．

解答 证明：∵S_n+1=4a_n+1，①
∴当n≥2时，S_n=4a_n-1+1．②
①-②，得a_n+1=4a_n-4a_n-1．
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n=2b_n-1．
∵a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，即a₂=3a₁+1=4．
∴b₁=a₂-2a₁=2，
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．