Question

12．已知F₁（-3，0），F₂（3，0）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F₁PF₂=α．当α=$\frac{2π}{3}$时，△F₁PF₂面积最大，则m+n的值是（　　）

• A． 41
• B． 15
• C． 9
• D． 1

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂=α．当α=$\frac{2π}{3}$时，△F₁PF₂面积最大，可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∠F₁PO=$\frac{π}{3}$．可得
$b=\frac{1}{2}$a，又c=3，a²=b²+c²，联立解出即可得出．

解答 解：∵∠F₁PF₂=α．当α=$\frac{2π}{3}$时，△F₁PF₂面积最大，
∴此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∴∠F₁PO=$\frac{π}{3}$．
∴$b=\frac{1}{2}$a，又c=3，a²=b²+c²，
联立解得b²=3，a²=12．
∴m+n=a²+b²=15．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．