Question

1．已知函数f（x）=x²-x+alnx，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）-（1+a）x₀≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a=1时f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）由题意可得a（x₀-lnx₀）≤x₀²-2x₀，由y=x-lnx（1≤x≤e），求得导数判断单调性，可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$的最大值，由g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]），求得导数，判断单调性，可得增函数，求得最大值为g（e），进而得到a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-x+lnx的导数为f′（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$，
可得曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为2-1+1=2，切点为（1，0），
即有曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2；
（2）?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）-（1+a）x₀≥0，
即为a（x₀-lnx₀）≤x₀²-2x₀，
由y=x-lnx（1≤x≤e），y′=1-$\frac{1}{x}$＞0，可得y=x-lnx在[1，e]递增，且y∈[1，e-1]，
可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在x∈[1，e]成立，即为a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$的最大值，
由g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]），g′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
由y=x+2-2lnx（1≤x≤e），y′=1-$\frac{2}{x}$，可得函数y在[1，2]递减，在[2，e]递增，
即有函数y=x+2-2lnx在x=2处取得最小值4-2ln2＞0，
则g′（x）＞0在[1，e]恒成立，即为g（x）在[1，e]递增，
可得g（x）的最大值为g（e）=$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$．
则a的取值范围是（-∞，$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．