Question

若函数f（x）=x³+ax²+bx+c在R上有三个零点，且同时满足：
①f（1）=0；
②f（x）在x=0处取得极大值；
③f（x）在区间（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）当a=-2时，求y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若g（x）=1-x，且关于x的不等式f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞），求实数a的取值范围．

Answer 1

由f（1）=0得：1+a+b+c=0，f'（x）=3x²+2ax+b．
因为f（x）在x=0处取得极大值，所以 f'（0）=0，即b=0．
因为f（x）在区间（0，1）上是减函数，则f'（1）≤0，所以 3+2a≤0，所以 a≤-

3

2

．
（Ⅰ） 当a=-2时，f'（x）=3x²-4x，所以 f'（2）=4
由a=-2，b=0，1+a+b+c=0，所以 c=1
所以 f（x）=x³-2x²+1，则点（2，f（2））为（2，1），
所以切线方程为：y-1=4（x-2），即y=4x-7．
（Ⅱ） f（x）-g（x）=x³+ax²-1-a-1+x=x³+ax²+x-a-2，f（1）-g（1）=1+a+1-a-2=0

x3+ax2+x-a-2=(x-1)(x2+x+2)+a(x-1)(x+1) =(x-1)[x2+(1+a)x+(a+2)]

要使f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞），必须x²+（1+a）x+（a+2）≥0恒成立
所以，△=（1+a）²-4（a+2）＜0（1），或

(1+a)2-4(a+2)≥0 - 1+a 2 ≤1 f(1)=2a+4≥0

（2）
解得：（1）得1-2

2

＜a＜1+2

2

，解（2）得-2≤a≤1-2

2

．
又∵a≤-

3

2

，∴-2≤a≤-

3

2

．
所以使不等式f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞）的实数a的取值范围是[-2，-

3

2

]．