Question

（2010•石家庄二模）已知函数f(x)=

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x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求实数a、b的值．
（Ⅱ）当a≠0时，若f（x）在（-1，1）上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把x=0代入切线方程，求出的y值为切点的纵坐标，确定出切点坐标，把切点坐标代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中，令求出的导函数值等于切线方程的斜率，即可求出a的值；
（Ⅱ）函数不单调，即函数在区间 （-1，1）有极值，即导函数在区间上有解，令导函数为0，结合一元二次不等式即可求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）依题意，1+f（1）-3=0∴f（1）=2，
即2=

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-a+a2-1+b，a2-a+b-

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=0，
∵切线x+y-3=0的斜率为-1，
∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，a=1，
代入解得b=

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；
（Ⅱ） 因为函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，
所以方程f'（x）=0在（-1，1）上有解，
因为f'（x）=x²-2ax+a²-1=[x-（a-1）]•[x-（a+1）]，
所以-1＜a-1＜1或-1＜a+1＜1…（10分）∴a∈（-2，0）∪（0，2）．

点评：此题考查了利用导数研究曲线上某地切线方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求学生掌握求导法则，采用转化的思想求不等式的解集．