Question

若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．
（Ⅰ）判断下列函数：①y=x²；②y=

1

x

；③y=log₂x中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数f（x）=2^x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：?d，b∈N^*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；
（Ⅱ）利用反证法思想证明函数f（x）=2^x+1不是等比源函数；
（Ⅲ）首先证明数列{g（n）}为等差数列，然后验证g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]构成等比数列，从而说明结论的正确性．

解答：（Ⅰ）解：对于函数y=x²，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，4，16，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=x²是等比源函数；
对于函数y=

1

x

，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，

1

2

，

1

4

，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=

1

x

是等比源函数；
对于函数y=log₂x，分别取x=2，4，16，对应的函数值为1，2，4，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=log₂x是等比源函数．
∴①②③都是等比源函数；
（Ⅱ）解：函数f（x）=2^x+1不是等比源函数．
证明如下：
假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则
（2ⁿ+1）²=（2^m+1）（2^k+1），整理得2²ⁿ+2ⁿ⁺¹=2^m+k+2^m+2^k，
等式两边同除以2^m，得2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1．
∵n-m≥1，k-m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，
∴等式2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1不可能成立，
∴假设不成立，说明函数f（x）=2^x+1不是等比源函数；
（Ⅲ）证明：∵?b，n∈N^*，都有g（n+1）-g（n）=d，
∴?d，b∈N^*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．
?d，b∈N^*，g（1），g（1）（1+d），g（1）（1+d）²成等比数列，
∵g（1）（1+d）=g（1）+（g（1）+1-1）d=g[g（1）+1]，
g（1）（1+d）²=g（1）+（2g（1）+g（1）d+1-1）d=g[2g（1）+g（1）d+1]，
∴g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]∈{g（n）|n∈N^*}，
∴?d，b∈N^*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．

点评：本题考查了等比数列的性质，是新定义题，解答的关键是通过举例验证证明，是中档题．