Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（-2，0），C（1，

3

2

）
（1）求椭圆E的方程；  
（2）若直线l：x=my+1与椭圆E交于M，N两点，点F为椭圆E的左焦点，当△FMN面积最大时，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）把点A、C的坐标代入椭圆方程可得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）易判断直线过椭圆的右焦点（1，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则S△FMN=

1

2

×2×|y1-y2|=|y₁-y₂|，联立直线与椭圆的方程消掉x可得y的二次方程，由韦达定理可表示出|y₁-y₂|，构造函数，利用单调性可得函数的最值，从而可得△FMN面积的最大值及相应的m值；

解答：解：（1）把点A、C的坐标代入椭圆方程可得

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
所以椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）如图所示：
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
易知直线x=my+1过椭圆的右焦点（1，0），
所以S△FMN=

1

2

×2×|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4

=12

m2+1 (3m2+4)2

=12

1 9(m2+1)+ 1 m2+1 +6

，
令t=m²+1（t≥1），则f（t）=9t+

1

t

+6，f′（t）=9-

1

t2

＞0，
所以f（t）在[1，+∞）上单调递增，即f（t）≥f（1）=16，
所以S_△FMN≤12

1 16

=3，即△FMN面积最大为3，此时m=0，
所以所求直线方程为x=1．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程、韦达定理及三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，运算量大．