Question

14．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，$a_n^2-（2{a_{n+1}}-1）{a_n}-2{a_{n+1}}=0$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列${b_n}=a_n^{\;}•{log_2}{a_n}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由数列的递推公式，可得所以数列{a_n}为等比数列，且公比$q=\frac{1}{2}$，首项a₁=1，
（Ⅱ）根据错位相减法，即可求出数列的数列{b_n}前n项和T_n．

解答 解：（ I）$a_n^2-（2{a_{n+1}}-1）{a_n}-2{a_{n+1}}=（{a_n}-2{a_{n+1}}）（{a_n}+1）=0$，
因为数列{a_n}各项均为正数，所以a_n+1≠0，所以a_n=2a_n+1，
所以数列{a_n}为等比数列，且公比$q=\frac{1}{2}$，首项a₁=1
所以${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$；
（Ⅱ）${b_n}=a_n^{\;}•{log_2}{a_n}=（1-n）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
${T_n}=（-1）×\frac{1}{2}+（-2）×{（\frac{1}{2}）^2}+…（1-n）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，①
$2{T_n}=（-1）+（-2）×\frac{1}{2}+…（1-n）×{（\frac{1}{2}）^{n-2}}$②
①-②得
$\begin{array}{l}-{T_n}=1+\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-2}}-（n-1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}\\ \;\;\;=\frac{{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-（n-1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=2-（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}\end{array}$，
所以${T_n}=（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-2$．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式及等比数列的求和公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．