Question

已知函数f（x）=x²（x-3a）+

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（a＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数的极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）=0有三个不同的零点，必须f(2a)=-4a3+

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＜0．从而求出参数的范围．

解答：解：当f'（x）=3x（x-2a）．（2分）
令f'（x）=0，得x=0，或x=2a．且f(0)=

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，f(2a)=-4a3+

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．（6分）
（Ⅰ）当a＞0时，2a＞0．
当x变化时，函数在（-∞，0）增函数，在（0，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增（8分）
∴当a＞0时，在x=0处，函数f（x）有极大值f(0)=

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；在x=2a处，函数f（x）有极小值f(2a)=-4a3+

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．（10分）
（Ⅱ）要使函数f（x）=0有三个不同的零点，必须f(2a)=-4a3+

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＜0．（12分）
解得a＞

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．∴当a∈(

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，+∞)时，函数y=f（x）有三个不同的零点．（14分）

点评：本题主要考查利用导数求函数的极值，考查方程根的讨论，属于中档题．