Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n、a_n、n成等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

2an

an+1

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1，若{b_n}为等比数列，求实数λ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，2a_n=S_n+n，当n=1时，可求a₁，n≥2时，由2a_n-1=s_n-1+n-1，两式相减得，a_n=2a_n-1+1，可证明，进而可求通项
（Ⅱ）Cn=

2an

an+1

=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

，利用分组，结合等比数列的求和公式可求数列的和
（Ⅲ）由 {b_n}为等比数列 可得b22=b1b3，结合已知递推公式代入可求λ

解答：解：（Ⅰ）依题意，2a_n=S_n+n
当n=1时，2a₁=a₁+1
∴a₁=1
n≥2时，2a_n-1=s_n-1+n-1
两式相减得，2a_n-2a_n-1=a_n+1
∴a_n=2a_n-1+1
令1+a_n=d_n，d₁=a₁+1=2 
当n≥2时，

dn

dn-1

=

an+1

an-1+1

=2
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数
∴dn=2•2n-1=2n，an=2n-1    …（4分）
（Ⅱ）Cn=

2an

an+1

=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

∴Tn=(2-

1

20

)+(2- 

1

2

)+(2-

1

22

)+…+(2-

1

2n-1

)
=2n-1(

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2n-2+

1

2n-1

（Ⅲ）∵b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1=λbn+2n
∴b₂=λb₁+2=3λ+2b3=λb2+22=3λ2+2λ+4
∵{b_n}为等比数列  
∴b22=b1b3
∴9λ²+12λ+4=9λ²+6λ+12   
∴λ=

4

3

此时bn+1=

4

3

bn+2n
当λ=

4

3

时，b₁=3，b₂=6，q=2
∴bn=3•2n-1
∴b_n+1=

4

3

bn+2+2n-1=

4

3

•3•2n-1+2n=3•2ⁿ
满足bn+1=

4

3

bn+2n
∴λ=

4

3

 …（12分）

点评：本题主要考查了利用构造法证明等比数列，及通项公式的求解，分组求和方法的应用，等差数列、等比数列的求和公式的应用，试题具有一定的综合性