Question

5．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）
+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“H函数”，给出下列函数 ①y=x²；②y=e^x+1；③y=2x-sinx；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}x=0\end{array}\right.$．以上函数是“H函数”的所有序号为（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=x²，则函数在定义域上不单调．不满足条件．
②y=e^x+1为增函数，满足条件．
③y=2x-sinx，则函数的导数y′=2-cosx＞0恒成立，即函数y=2x-sinx为增函数，满足条件．
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}，x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}，x=0\end{array}$．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故选：D

点评 本题主要考查抽象函数的应用，结合函数的单调性，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．