Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a，b∈R），g（x）= ﹣lnx．
（1）当a=﹣1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；
（2）当a，b都为0时，斜率为k的直线与曲线y=f（x）交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2）于两点，求证：x1＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=﹣1∴f（x）=lnx+x2﹣bx，由题意可知，f（x）与g（x）的定义域都为（0，+∞）．

∵ =

∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．

又a=﹣1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，

∴f（x）=lnx+x2﹣bx在（0，+∞）上单调递增．

∴ 对x∈（0，+∞）恒成立

即 对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需 ，

∵x＞0，∴ （当且仅当 时，等号成立），

∴ ，∴b的取值范围为 ．

（2）证明： ．

要证 ，即证 ，

等价于证 ，令 ，

则只要证 ，由t＞1，知lnt＞0，

故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1），（*）

设m（t）=t﹣1﹣lnt（t＞1），则 ，

故m（t）在（1，+∞）上是增函数，

当t＞1时，m（t）=t﹣1﹣lnt＞m（1）=0，即t﹣1＞lnt．

设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t＞1），则h'（t）=lnt＞0（t＞1），

故h（t）在（1，+∞）上是增函数．

当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．

由可知（*）成立，故

【解析】（1）化简函数f（x）=lnx+x2﹣bx，求出f（x）与g（x）的定义域都为（0，+∞）．求出函数的导数，判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，利用f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，推出 对x∈（0，+∞）恒成立，即 对x∈（0，+∞）恒成立利用基本不等式求解最值，即可．（2） ．要证 ，等价于证 ，令 ，等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1），设m（t）=t﹣1﹣lnt（t＞1），则 ，通过函数的单调性转化求解即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．