Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+2kx﹣4，若对任意x∈R，f（x）﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是

Answer 1

【答案】[﹣3，3]
【解析】解：对任意x∈R，f（x）﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立， 即为2kx≤|x+1|+|x﹣1|+x2+4恒成立，
若x=0，则0≤1+1+0+4=6恒成立；
若x＞0，则2k≤x+ +|1+ |+|1﹣ |，
令g（x）=x+ +|1+ |+|1﹣ |，
当x≥1时，g（x）=x+ +1+ +|1﹣ |=2+（x+ ）≥2+2 =6，
（当且仅当x=2时，取得等号），
当0＜x＜1时，g（x）=x+ 在（0，1）递减，可得g（x）＞7，
则x＞0时，g（x）的最小值为6，
可得2k≤6，即k≤3；
若x＜0，则2k≥x+ + ，
令h（x）=x+ + ，
当x＜﹣1时，h（x）=x+ ﹣1+ ﹣1﹣ =﹣2+（x+ ）≤﹣2﹣2 =﹣6，
（当且仅当x=﹣2时，取得等号），
当﹣1≤x＜0时，h（x）=x+ 在[﹣1，0）递减，可得g（x）≤﹣7，
则x＜0时，g（x）的最大值为﹣6，
可得2k≥﹣6，即k≥﹣3．
综上可得，k的范围是[﹣3，3]．
所以答案是：[﹣3，3]．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．