Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0），若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．

（1）求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
（2）求p的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，

∴直线l是线段PQ的垂直平分线∴PQ的斜率为﹣1，

设PQ的方程为：y=﹣x+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），

线段PQ的中点为M（xM，yM），由 ，

∴x2﹣2（p+b）x+b2=0（*），

∴ ，

∴x1+x2=2（p+b），

∴xM=（p+b），∴M（p+b，﹣p），

又∵M在直线l上，∴p+b﹣（﹣p）﹣2=0，

∴b=2﹣2p，

∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）

（2）解：在（1）中（*）式：x2﹣2（p+b）x+b2=0及b=2﹣2p，

∴x2﹣2（2﹣p）x+（2﹣2p）2=0

∵相交于P、Q两点

∴△=（4﹣2p）2﹣4（2﹣2p）2＞0

∴3p2﹣4p＜0，∴ ．

【解析】（1）根据题意得到：直线l是线段PQ的垂直平分线，从而设出直线PQ的方程，将问题转化为：直线PQ与抛物线C交于点P，Q，求线段PQ的中点M的坐标；（2）将相交于P，Q两点变为医院二次方程有两个实数根来求得p的取值范围.